20 de Diciembre de 2012
MATEMÁTICAS

Más cerca de una solución del milenio

La resolución de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer parece estar más cerca que nunca.

Supuestamente, la generalización del famoso «último teorema» de Fermat, conjeturado en 1637 por el matemático francés (en la foto) y demostrado en 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor, sería una pieza clave en la demostración de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. [Wikimedia Commons]

El matemático Ye Tian, de la Academia de Matemáticas y Ciencia de Sistemas de Pequín, ha publicado en la revista Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) un resultado fundamental para la demostración generalizada de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer. Esta constituye uno de los siete problemas del concurso Problemas del Milenio, convocado por el Instituto Clay de Matemáticas y premiado con un total de siete millones de dólares (uno por cada problema resuelto). Hasta la fecha, solo se ha demostrado la conjetura de Poincaré, conocida mundialmente por el caso del matemático ruso Grigori Perelman que resolvió el enigma y rechazó el premio.

El problema de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, planteado por vez primera en un manuscrito árabe del siglo X, atañe a la existencia de un método general para identificar los números congruentes, es decir enteros que pueden representar el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son descritos por números enteros o racionales. Hasta el siglo XVII, se conocía una cantidad muy reducida de números congruentes (5, 6 y 7) capaces de describir el área de los triángulos rectángulos con lados de [40/6, 9/6, 41/6], [3, 4, 5] y [288/60, 175/60, 337/60], respectivamente. En aquel entonces, el matemático Pierre de Fermat (1601-1665) consiguió el primer resultado teórico significativo, demostrando que el número uno no es congruente.

Con el paso del tiempo, los investigadores han descubierto muchos números de este tipo, pero para determinar su congruencia ha sido necesario construir modelos matemáticos cada vez diferentes y válidos solo para un grupo restringido de números. Y lo cierto es que a día de hoy aun falta un criterio general, aquella condición necesaria y suficiente que permita identificarlos en su conjunto. Recientemente, los matemáticos se percataron de que la generalización de la demostración de Fermat implicaba considerar un comportamiento particular de las curvas elípticas (ecuaciones con coeficientes racionales). Este descubrimiento llevó precisamente a la formulación de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, de la cual hasta la fecha se había demostrado solo casos particulares.

Aunque todavía no representa su demostración definitiva, el resultado obtenido por Ye Tian consigue encajar dichos casos particulares en un contexto más amplio. El matemático John H. Coates, del Colegio Emmanuel de Cambridge, en un comentario publicado también en PNAS afirma que el trabajo de Ye Tian «marca una etapa importante en la historia de este antiguo problema. Y como ya ocurrió en el pasado, la generalización de todas las curva elípticas parece solo cuestión de tiempo».

Más información en PNAS.

Fuente: Le Scienze

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