25 de Septiembre de 2018
Teoría de números

Titanes de las matemáticas en pie de guerra por una prueba monumental de la conjetura abc

Dos matemáticos han encontrado lo que ellos llaman un agujero en el meollo de una prueba que lleva convulsionando el mundo de las matemáticas desde hace casi seis años.

Shinichi Mochizuki mantiene que su prueba, por mucho que Jakob Stix y Peter Scholze digan que han descubierto «un importante e irreparable resquicio», no es defectuosa. Stix compara un paso fundamental de la prueba, del que cree, con Scholze, que es defectuoso, con la famosa escalera de Escher [Klaus Kremmerz para Quanta Magazine].

En un texto publicado hace unos días en la Red, Peter Scholze, de la Universidad de Bonn, y Jakob Stix, de la Universidad Goethe de Frankfurt, describen lo que Stix llama «un importante e irreparable resquicio» en una gigantesca serie de artículos de Shinichi Mochizuki, matemático de la Universidad de Tokio célebre por su brillantez. Los artículos de Mochizuki, colgados en la Red en 2012, demuestran supuestamente la conjetura abc, uno de los problemas de mayor alcance de la teoría de números.

Pese a los numerosos congresos dedicados a explicar la prueba de Mochizuki, los teóricos de números se las ven y se las desean para captar las ideas en que se basa. Su serie de artículos, que suman más de 500 páginas, está escrita en un estilo impenetrable; se refieren además a otras 500 páginas o así de trabajos anteriores del propio Mochizuki, con lo que se crea lo que un matemático, Brian Conrad, de la Universidad Stanford, llama «una sensación de regresión infinita».

Entre 12 y 18 matemáticos que han estudiado la prueba en profundidad creen que es correcta, escribe en un mensaje de correo electrónico Ivan Fesenko, de la Universidad de Nottingham. Pero solo los matemáticos en la «órbita» de Mochizuki han avalado expresamente que la prueba es correcta, comentaba Conrad en un blog en diciembre. «No hay nadie más que haya querido decir, ni siquiera off the record, que está seguro de que la prueba está completa».

No obstante, escribía Frank Calegari, de la Universidad de Chicago, en un blog, en diciembre también, «los matemáticos son muy reacios a decir que hay un problema con la prueba de Mochizuki porque no pueden señalar un error definitivo».

Eso ha cambiado ahora. En su texto, Scholze y Stix argumentan que un razonamiento cerca del final de la prueba del «corolorario 3.12» del tercero de los cuatro artículos de Mochizuki está equivocado de raíz. El corolario es esencial para la prueba que propone Mochizuki de la abc .

«Creo que la conjetura sigue abierta», dice Scholze. «Cualquiera tiene la oportunidad de demostrarla».

Las conclusiones de Scholze y Stix se basan no solo en su propio estudio de los artículos, sino también en la visita de una semana de duración que hicieron en Kioto a Mochizuki y su compañero Yuichiro Hoshi en marzo. Esta visita ayudó muchísimo, dice Scholz, a destilar sus objeciones y las de Stix hasta su esencia. La pareja «llegó a la conclusión de que no hay prueba», escriben en su texto.

Pero el encuentro acabó de un manera extrañamente insatisfactoria: Mochizuki no pudo convencer a Scholze y Stix de que su argumento era bueno, pero ellos no pudieron convencerle a él de que no lo es. Mochizuki ha subido ahora a su sitio en la Red el texto de Scholze y Stix junto con varios textos suyos como refutación. (Mochizuki y Hoshi no respondieron a las peticiones de que ofreciesen sus comentarios para este artículo).

En su refutación, Mochizuki atribuye la crítica de Scholze y Stix a «ciertos malentendidos fundamentales» acerca de su trabajo. De su «postura negativa», escribe, «no se sigue la existencia de error alguno» en su teoría.

Así como la gran reputación de Mochizuki hizo que los matemáticos considerasen su trabajo un intento serio de demostrar la conjetura abc, la talla de Scholze y Stix garantiza que los matemáticos prestarán atención a lo que dicen. Aunque solo tiene 30 años, Scholze ha ascendido rápidamente hasta la cima de su campo. En agosto se le concedió la medalla Fields, el mayor honor para los matemáticos. Stix, por su parte, es un experto en el área de investigación de Mochizuki, la llamada geometría anabeliana.

«Peter y Jakob son unos matemáticos  sumamente meticulosos y reflexivos», dice Conrad. «Si algo les preocupa […] merece sin duda que se aclare».

El punto en litigio

La conjetura abc, a la que Conrad llama «una de las conjeturas más sobresalientes de la teoría de números», empieza con una de las ecuaciones más simples que quepa imaginar:  a+ b = c. Se supone que los tres números a, b y c, son enteros positivos y que no comparten factores primos en común; así, por ejemplo, valen las ecuaciones 8 + 9 = 17 o 5 + 16 = 21, pero no 6 + 9 = 15, pues 6, 9 y 15 son divisibles por 3.

Dada una ecuación así, podemos fijarnos en todos los primos que dividen a uno de los tres números; por ejemplo, para la ecuación 5 + 16 = 21 los primos son 5, 2, 3 y 7. Multiplicándolos sale 210, un número mucho mayor que cualquiera de los números de la ecuación original. Por el contrario, para la ecuación 5 + 27 = 32, cuyos primos son  5, 3 y 2, el producto de estos es 30, menor que el 32 de la ecuación original. El producto sale tan pequeño porque 27 y 32 solo tienen factores primos pequeños (3 y 2, respectivamente), que se repiten muchas veces para hacer el 27 y el 32.

Si se van viendo otros tríos abc, se encontrará que esa segunda situación es rarísima. Por ejemplo, entre los 3044 tríos diferentes que se pueden hacer en los que a y b está entre 1 y 100 solo hay siete en los que el producto de los primos es menor que c. La conjetura abc, formulada en la década de 1980, da forma a la intuición de que ese tipo de trío sucede raras veces.

Más en concreto, volviendo al ejemplo del 5 + 27 = 32: 32 es mayor que 30, pero solo por poco. Es menor que 302 o que 301,5 o que 30 1,02, que es alrededor de 32,11. La conjetura abc dice que si se toma un exponente cualquiera mayor que 1, solo habrá un número finito de tríos abc en los que c es mayor que el producto de los factores primos elevado al exponente elegido.

«La conjetura abc es un enunciado muy elemental sobre la multiplicación y la suma», dice Minhyong Kim, de la Universidad de Oxford. Es el tipo de enunciado, dice, donde «la sensación es que se está revelando algún tipo de estructura muy fundamental de los sistemas de números en general que no se había visto antes».

Y la simplicidad de la ecuación a + b = c significa que una amplia gama de problemas diferentes estará sujeta al influjo de la conjetura. Por ejemplo, el último teorema de Fermat se refiere a ecuaciones de la forma xn +yn = zn, y la conjetura de Catalan, que dice que 8 y 9 son las únicas potencias perfectas consecutivas (ya que 8 = 23 y 9 = 32), a la ecuación x m + 1 = yn. La conjetura abc ofrecería (en ciertas formas) nuevas pruebas de esos dos teoremas y resolvería una colección de problemas abiertos afines.

La conjetura «parece estar siempre en la frontera entre lo que se conoce y lo que es desconocido», escribe Dorian Goldfeld, de la Universidad de Columbia,

La riqueza de consecuencias que dimanaría de una prueba de la conjetura abc había convencido a los teóricos de números de que demostrar la conjetura iba a ser seguramente muy difícil. Así que cuando empezó correrse en 2012 la voz de que Mochizuki había presentado una prueba, muchos teóricos de números se zambulleron con entusiasmo en su trabajo, solo para quedar frustrados por el lenguaje poco familiar y la presentación inusual. Las definiciones se extendían durante varias páginas y las seguían teoremas cuyos enunciados eran similarmente largos, pero cuyas prueban solo decían, en esencia, que  «esto se sigue inmediatamente de las definiciones».

«Cada vez que oigo hablar de un análisis de los artículos de Mochizuki por un experto (off the record) es turbador lo familiar que resulta: una gran montaña de trivialidades seguida de un enorme despeñadero de conclusiones injustificadas», escribió Calegari en su entrada de blog de diciembre.

Scholze fue uno de los primeros lectores del artículo. Como se le conoce por su facilidad para absorber las matemáticas rápida y profundamente, fue más lejos que muchos teóricos de números y completó lo que llamó una «lectura por encima» de los cuatro artículos principales poco después de que saliesen. A Scholze le desconcertó lo de los largos teoremas con pruebas cortas; su impresión fue la de que eran válidas pero insustanciales. En los dos artículos intermedios, escribiría después, «parece que pasa muy poco».

Y entonces Scholze llegó al corolario 3.12 del tercer artículo. Los matemáticos suelen usar la palabra «corolario» para referirse a un teorema que es una consecuencia secundaria de un teorema anterior, más importante. Pero en el caso del corolario 3.12 de Mochizuki, los matemáticos coinciden en que está en el meollo de la prueba de abc. Sin él, «no hay prueba en absoluto», escribió Calegari. «Es un paso crucial».

Este corolario es el único teorema de los dos artículos intermedios cuya prueba ocupa más que unos pocos renglones: se extiende a lo largo de nueve páginas. Cuando Scholze fue abriéndose paso por ella, llegó a un punto cuya lógica no pudo entender en absoluto.

Scholze, que tenía entonces 24 años, creyó que la prueba era deficiente. Pero apenas si participó en las discusiones sobre los artículos, salvo cuando le preguntaban directamente lo que pensaba. Al fin y al cabo, creía, quizá otros matemáticos encontrarían ideas significativas en el artículo que a él se le habían escapado. O, quizá, llegarían al final a la misma conclusión que él. De una forma o de la otra, la comunidad matemática iba sin duda a poner en claro las cosas.

La escalera de Escher

Mientras, otros matemáticos se esforzaban con los densos artículos. Muchos pusieron grandes esperanzas en una reunión dedicada al trabajo de Mochizuki que se celebró en la Universidad de Oxford a finales de 2015. Pero cuando varios de los asociados estrechamente a Mochizuki intentaron describir las ideas clave de la demostración, una «nube de niebla» pareció descender sobre quienes les escuchaban, escribió Conrad en su reseña poco después de la reunión. «Los que entienden el trabajo necesitan tener más éxito en comunicar a los geómetras aritméticos qué es lo que lo hace funcionar», escribió.

A los días de que saliese la nota de Conrad, este recibió mensajes no solicitados de correo electrónico de tres matemáticos (uno de ellos Scholze), todos con la misma historia: «A cada una de esas personas, la prueba que les había dejado parados era la de 3.12», escribiría más tarde Conrad.

Kim escuchó preocupaciones parecidas sobre el corolario 3.12 de otro matemático, Teruhisa Koshikawa, hoy en la Universidad de Kioto. Y Stix, también, se quedó perplejo con el mismo pasaje. Gradualmente, varios teóricos de números cayeron en la cuenta de que este corolario era un punto peliagudo, pero no estaba claro si el argumento tenía un agujero o si Mochizuki necesitaba simplemente explicar su razonamiento mejor.

Entonces, a finales de 2017 corrió el rumor, para consternación de muchos teóricos de números, de que los artículos de Mochizuki habían sido aceptados para su publicación. El propio Mochizuki era el director de la revista en cuestión, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS), una manera de proceder de la que Calegari dijo que daba «muy mala imagen» (aunque los directores suelen recusarse a sí mismos en situaciones así). Pero mucho más preocupante para muchos teóricos de números era el que los artículos siguiesen siendo, por lo que a ellos se refería, ilegibles.

«Ningún experto de los que dicen que entienden los argumentos ha logrado explicárselos a cualquiera de los (muchos, muchos) que siguen confundidos» escribió Matthew Emerton, de la Universidad de Chicago, en un comentario a una entrada de blog.

Calegari se lamentaba en la entrada de blog citada antes de que la situación era «un completo desastre», lo que fue recibido con un coro de amenes de destacados teóricos de números. «Ahora tenemos la ridícula situación de que ABC sea un teorema en Kioto y un conjetura en cualquier otro sitio», escribía Calegari.

PRIMS respondió a las preguntas de la prensa con una declaración según la cual los artículos no habían sido aceptados. Antes de que hiciesen esto, sin embargo, Scholze decidió hacer público lo que había estado diciendo en privado a los teóricos de números desde hacía un tiempo. Toda la discusión acerca de la prueba se había vuelto «demasiado sociológica», era su conclusión. «Todos hablaban de que daba la impresión de que no es una prueba, pero nadie decía en realidad que ‘la verdad es que hay ese punto en el que nadie entiende la prueba’».

Así, en la sección de comentarios del blog de Calegari, Scholze escribió que era «completamente inapaz de seguir la lógica de la figura 3.8 en la prueba del corolario 3.12». Añadía que los matemáticos «que afirman entender la prueba son incapaces de reconocer que ahí hay que decir más».

Shigefumi Mori, compañero de Mochizuki en la Universidad de Kioto y ganador de la medalla Fields, escribió a Scholze ofreciéndose para facilitar un encuentro entre él y Mochizuki. Scholze, a su vez, se dirigó a Stix, y en marzo los dos viajaron a Kioto para discutir la prueba en litigio con Mochizuki y Hoshi.

Mochizuki aborda la conjetura abc traduciendo el problema a uno sobre las curvas elípticas, un tipo especial de ecuación cúbica de dos variables,  x e y. La traducción, bien conocida antes del trabajo de Mochizuki, es sencilla (se asocia cada ecuación abc a la curva elíptica cuya gráfica cruza el eje x en a, b y el origen), pero permite que los matemáticos aprovechen la rica estructura de las curvas elípticas, el cálculo y otros campos. (Esa misma traducción está en el meollo de la demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles en 1994).

La conjetura abc se reduce entonces a probar cierta desigualdad entre dos cantidades asociadas a la curva elíptica. El trabajo de Mochizuki traduce a su vez esa desigualdad a otra forma, que, dice Stix, puede concebirse como una comparación de los volúmenes de dos conjuntos. En el corolorario 3.12 es donde Mochizu presenta su prueba de esa nueva desigualdad, que, de ser cierta, probaría la conjetura abc.

La prueba, tal y como la describen Scholze y Stix, considera los dos volúmenes como si viviesen dentro de dos copias diferentes de los números reales, que se representan entonces como una parte de un círculo de seis copias diferentes de los números reales, junto con las aplicaciones que explican cómo se relaciona cada copia con sus vecinas en el círculo. Para seguir el paso de cómo se relacionan los volúmenes de conjuntos entre sí, es necesario entender cómo las mediciones del volumen en una copia se relacionan con las mediciones en las otras copias, dice Stix.

«Si tienes una desigualdad de dos cosas pero la vara de medir digamos que se encoge en un factor que no puedes controlar, perderás el control sobre lo que la desigualdad significa realmente», dice Stix.

Es en este paso crucial del argumento donde las cosas se ponen mal, creen Scholze y Stix. En las aplicaciones de Mochizuki, las varas de medir son localmente compatibles entre sí. Pero cuando se rodea el círculo, dice Stix, se termina teniendo una vara de medir que parece diferente a la que se tendría si se hubiese rodeado el círculo en el sentido contrario. La situación, dice, recuerda a la famosa escalera de Escher, que sube y sube solo para acabar de alguna forma debajo de donde se empezó.

Esta incompatibilidad en las mediciones del volumen significan que la desigualdad resultante es una desigualdad entre cantidades equivocadas, según Scholze y Stix. Y si se ajustan las cosas de modo que las mediciones del volumen sean compatibles globalmente, la desigualdad pierde su sentido, dicen.

Scholze y Stix han «encontrado una forma en la que no es posible que el argumento funcione», dice Kiran Kedlaya, matemático de la Universidad de California en San Diego, que ha estudiado los artículos de Mochizuki en profundidad. «Por lo tanto, para que el argumento sea correcto tendrá que hacer algo diferente, algo bastante más sutil» de lo que Scholze y Stix describen.

Algo más sutil es exactamente lo que la prueba hace, replica Mochizuki. Scholze y Stix se equivocan, escribe, al hacer identificaciones arbitrarias entre objetos matemáticos que deberían ser tomados como distintos. Cuando les explicó a sus colegas la naturaleza de las objeciones de Scholze y Stix, escribe, sus descripciones «fueron recibidas con una reacción notablemente unánime de máximo asombro e incluso incredulidad (¡a veces acompañada de risas!) por que pudiese haber unos errores de interpretación tan manifiestos».

Los matemáticos tendrán ahora que asimilar el argumento de Scholze y Stix y la respuesta de Mochizuki. Pero Scholze espera que, al contrario de lo ocurrido con la serie original de artículos de Mochizuki, no se vaya dilatando el proceso, pues la esencia de sus objeciones y las de Stix no es muy técnica. Otros teóricos de números «podrían haber seguido totalmente las discusiones que tuvimos esa semana con Mochizuki», dice.

Mochizuki ve las cosas de una manera muy diferente, En su opinión, la crítica de Scholze y Stix deriva de una «falta del tiempo suficiente para reflexionar con hondura sobre las matemáticas en discusión», asociada quizá con «una profunda sensación de incomodidad, o carencia de familiaridad, con formas nuevas de pensar acerca de los objetos matemáticos ».

Es muy posible que los matemáticos que ya son escépticos acerca de la prueba de abc de Mochizuki consideren que la contribución de Scholze y Stix es el final de la historia, dice Kim. Otros querrán estudiar los nuevos elementos de juicio por sí mismos, actividad que Kim ya ha empezado. «No creo que pueda librarme por completo de la necesidad de efectuar comprobaciones por mí mismo antes de llegar a una idea», escribe en un mensaje de correo electrónico.

En el último par de años, muchos teóricos de números han desistido de intentar entender los artículos de Mochizuki. Pero si Mochizuki o sus seguidores pueden aportar una explicación exhaustiva y coherente de por qué es demasiado simplista lo que Scholze y Stix dicen (suponiendo que lo sea), «esto contribuiría mucho a aliviar parte de la fatiga y quizá haría que hubiese más predisposición a volver a mirar estas cosas», afirma Kedlaya.

Mientras, dice Scholze, «creo que no debería considerarse que se trata de una prueba mientras Mochizuki no efectúe algunas revisiones muy sustanciales y explique ese paso clave mucho mejor». Personalmente, dice, «la verdad es que no veo una idea clave que nos acerque a la prueba de la conjetura abc».

Sea cual sea el resultado final de esta discusión, señalar una parte tan concreta del argumento de Mochizuki debería aclarar mucho las cosas, dice Kim. «Lo que Jakob y Peter han hecho es un importante servicio a la comunidad», dice. «Pase lo que pase, estoy bastante seguro de que su contribuciónva a ser un progreso, y uno bien definido».

Erica Klarreich / Quanta Magazine

Artículo traducido y adaptado por Investigación y Ciencia con permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión de la ciencia.

Referencia: «Why abc is still a conjecture», de Peter Scholze y Jakob Stix , y «Report on discussions, held during the period march 15 – 20, 2018, concerning Inter-universal Teichmuller Theory (IUTCH)», de Shinichi Mochizuki. 

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