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18 de Diciembre de 2019
Números

Un gran resultado matemático para un «problema peligroso»

Los matemáticos tienen a la conjetura de Collatz por una pesadilla y se aconsejan mutuamente mantenerse apartados de ella. Pero ahora Terence Tao ha logrado el mayor avance al respecto desde hace mucho años.

El proceso de Collatz como fractal [Pokipsy76].

Los matemáticos expertos advierten a los recién llegados de que se aparten de la conjetura de Collatz. Es un canto de sirena, les dicen: si caes bajo su encantamiento nunca más podrás hacer algo provechoso.

La conjetura de Collatz es muy posiblemente el más sencillo de los problemas matemáticos aún sin resolver, y esa es precisamente la razón de su traicionero atractivo.

«Es un problema verdaderamente peligroso. La gente se obsesiona con él y la verdad es que es imposible», dice Jeffrey Lagarias, matemático de la Universidad de Michigan experto en la conjetura de Collatz.

A principios de este año, uno de los matemáticos más destacados del mundo se atrevió a enfrentarse al problema y dio con uno de los resultados más significativos en décadas sobre la conjetura.

El 8 de septiembre, Terence Tao publicó en Internet una prueba de que, como muy poco, la conjetura de Collatz es «casi» cierta para «casi» todos los números. El resultado de Tao no es una prueba completa de la conjetura, pero sí un gran avance en un problema que no rinde sus secretos fácilmente.

«No esperaba resolver este problema completamente», explica Tao, matemático de la Universidad de California, Los Ángeles. «Pero lo que hice fue más de lo que esperaba».

El entuerto de Collatz

Lothar Collatz debió de formular la conjetura que lleva su nombre en la década de 1930. El enunciado recuerda a un truco para amigos. Escoge un número, uno cualquiera. Si es impar, multiplícalo por 3 y suma 1. Si es par, divídelo por 2. Tienes ahora un nuevo número. Aplícale las mismas reglas. La conjetura se refiere a lo que pasa cuando se va repitiendo el proceso.

La intuición podría hacernos creer que el número con que se acaba dependerá del número con que se empiece. Quizá vayan los números rotando descendentemente hasta caer en el 1. Quizás otros se alejen hasta el infinito.

Pero Collatz predijo que no es así. Conjeturó que si se empieza con un entero positivo y la aplicación del proceso es suficientemente larga, todos los valores conducirán al 1. Y una vez que se ha ido a parar al 1, las reglas de la conjetura de Collatz conducen a un bucle: 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, y así para siempre.

Con los años, muchos resolvedores de problemas se han sentido atraídos por la cautivadora sencillez de la conjetura de Collatz, o «problema 3x + 1», como también se le conoce. Los matemáticos la han comprobado con trillones de ejemplos sin hallar una sola excepción a la predicción de Collatz. Puede probar usted mismo con unos cuantos ejemplos usando alguna de las muchas «calculadoras de Collatz» que hay en la Red. Internet está inundada de pruebas sin fundamento por aficionados que dicen haber resuelto el problema de una u otra forma.

«Basta con que sepas multiplicar por 3 y dividir por dos para que puedas empezar a jugar con esto inmediatamente. Tienta mucho el intentarlo», dice Marc Chamberland, matemático del Grinnell College que produjo un vídeo muy popular en YouTube sobre la conjetura titulado «El más simple de los problemas imposibles».

Pero las pruebas válidas son raras.

En la década de 1970, los matemáticos demostraron que casi todas las secuencias de Collatz (la lista de los números que se obtienen cuando se repite el proceso) acaban llegando a un número menor que el número con que se empezó: un indicio débil, pero no obstante un indicio, de que casi todas las secuencias de Collatz se inclinan hacia el 1. Desde 1994 hasta el resultado de Tao de este año, Ivan Korec tenía el récord por haber mostrado hasta qué punto llegaban a ser mucho menores esos números. Otros resultados han ido picoteando por el problema pero sin llegar a abordar el asunto central.

«La verdad es que no entendemos bien la cuestión de Collatz ni muchísimo menos, así que no ha habido muchos trabajos significativos sobre ella», afirma Kannan Soundararajan, matemático de la Universidad Stanford que ha trabajado sobre la conjetura.

La futilidad de esos esfuerzos ha llevado a muchos matemáticos a  investigar otras cosas.

«El de Collatz es un problema notoriamente difícil, tanto que los matemáticos tienden a preceder cualquier discusión que se le refiera con la advertencia de que no se pierda el tiempo con él», dice Joshua Cooper, de la Universidad de Carolina del Sur en un mensaje de correo electrónico.

Una pista inesperada

Lagarias se interesó por la conjetura en sus días de estudiante, hace al menos 40 años. Durante muchos años ha sido el celador de todo aquello que se refiere a la conjetura de Collatz. Ha juntado una biblioteca de artículos relativos al problema, y en 2010 publicó algunos en un libro titulado El reto definitivo: el problema 3x + 1.

Tao no suele gastar tiempo con problemas imposibles. En 2006 ganó la medalla Fields, el máximo honor de las matemáticas; se le suele considerar uno de los mejores matemáticos de su generación. Está acostumbrado a resolver problemas, no a perseguir ensoñaciones.

«En realidad, es un riesgo profesional cuando se es matemático», dice. «Uno se puede obsesionar con esos grandes problemas famosos que están mucho más allá de la capacidad que se tiene de hacerles mella y con los que puedes perder mucho tiempo».

Pero Tao no se resiste del todo a las grandes tentaciones de su campo. Todos los años prueba su suerte durante un día o dos con alguno de los problemas sin resolver más famosos. Con los años, ha intentado unas cuantas veces resolver la conjetura de Collatz, sin conseguir nada.

Pero este mes de agosto un lector anónimo dejaba un comentario en el blog de Tao. Sugería que se intentase resolver la conjetura para «casi todos» los números en vez de intentar resolverla del todo.

«No le contesté, pero hizo que pensase otra vez en el problema», dice Tao.

Y entonces cayó en la cuenta de que la conjetura de Collatz se parecía en cierta forma a los tipos de ecuaciones, llamadas ecuaciones diferenciales parciales, que intervenían en algunos de los resultados más importantes de su carrera.

Entradas y salidas

Con las ecuaciones diferenciales parciales o en derivadas parciales (EDP) se pueden construir modelos de la mayoría de los procesos físicos fundamentales, como la evolución de un fluido o las ondas gravitatorias que se propagan por el espaciotiempo. Aparecen en las situaciones en que la posición futura de un sistema, como el estado de un estanque a los cinco segundos de  arrojarle una piedra, depende de las contribuciones de dos o más factores, como la viscosidad y la velocidad del agua.

No parece que las complicadas EDP tengan mucho que ver con una sencilla pregunta relativa a la aritmética, como la conjetura de Collatz.

Pero Tao comprendió que había algo que las asemejaba. Con una EDP, se introducen unos valores y se sacan otros, y el proceso se repite con el objeto de conocer el estado futuro del sistema. Dada una EDP cualquiera, los matemáticos querrán saber si algunos valores con los que se empieza conducen a finalmente a valores infinitos como resultado o si una ecuación siempre arroja valores finitos sean cuales sean los valores iniciales.

Para Tao, ese objetivo era del mismo pelaje que investigar si siempre se acaba obteniendo el mismo número (el 1) con el proceso de Collatz sea cual sea el número del que se parte. Como consecuencia, aceptó que las técnicas con las que se estudian las EDP se podrían aplicar a la conjetura de Collatz.

Una técnica particularmente útil recurre a una forma estadística de estudiar el comportamiento a largo plazo de un pequeño número de valores iniciales (un pequeño número, por ejemplo, de configuraciones iniciales del agua de un estanque) y extrapola desde ahí el comportamiento a largo plazo de todas las configuraciones iniciales posibles del estanque.

En el contexto de la conjetura de Collatz, imaginemos que se empieza con una muestra de números grande. El objetivo es estudiar cómo se comportan cuando se les aplica el proceso de Collatz. Si cerca del cien por cien de los números de la muestra acaban exactamente en 1 o muy cerca de 1, cabrá concluir que casi todos los números se portan de la misma manera.

Pero para que la conclusión sea válida hay que formar la muestra muy cuidadosamente. El problema es análogo al de generar una muestra de votantes en una encuesta electoral. Para extrapolar adecuadamente desde la muestra hasta la población completa hay que ponderar la muestra con la proporción correcta de republicanos y demócratas, digamos, y de mujeres y de hombres, etc.

Los números tienen sus propias características «demográficas». Hay números pares e impares, claro está, y números que son múltiplos de 3, y números que difieren de los demás de maneras más sutiles. Cuando se forma una muestra de números, se puede ponderar su composición de forma que contenga ciertos tipos de números y no otros, y cuanto mejor se escojan los pesos, más fidedignas serán las conclusiones que se podrán sacar acerca de los números como un todo.

Razones de peso

La dificultad a la que se enfrentó Tao era mucho mayor que la de meramente adivinar cómo se crea una muestra inicial de números con los pesos apropiados. En cada paso del proceso de Collatz cambian los números con los que se trabaja. Un cambio evidente es el de que casi todos los números de la muestra empequeñecen.

Otro, quizá menos obvio, es que los números empiezan a acumularse. Se podría, por ejemplo, empezar con una buena distribución inicial uniforme, los números entre 1 y un millón, por ejemplo. Pero con cinco interacciones de Collatz lo más probable será que los números se concentren en unos cuantos intervalos pequeños de la recta numérica. en otras palabras, puede que se empiece con una buena muestra, pero cinco pasos después estará de lo más sesgada.

«De ordinario, se esperará que tras la iteración la distribución sea completamente diferente a la distribución con la que se empezó», explica Tao en un mensaje de correo electrónico.

La intuición clave de Tao fue la de idear una muestra de números que conservaba en muy buen medida sus pesos originales a lo largo del proceso de Collatz.

Por ejemplo, la muestra de partida de Tao está ponderada de forma que no contenga múltiplos de 3, ya que el proceso de Collatz enseguida va a descartar los múltiplos de 3. Otro de los pesos ideados por Tao son más complicados. Pondera la composición de su muestra en favor de los números que tienen un resto de 1 cuando se los divide por 3 y en contra de los que tienen un resto de 2 tras la misma operación.

El resultado es que la muestra con la que empieza Tao conserva su carácter mientras avanza el proceso de Collatz.

«Halló una forma de seguir adelante con este proceso de modo que tras algún número de pasos se sigue sabiendo qué pasa», dice Soundararajan. «La primera vez que leí el artículo me emocionó, me pareció muy impresionante».

Tao usó esa técnica de ponderación para probar que casi todos los valores iniciales en un proceso de Collatz (99% o más) alcanzan finalmente un valor bastante cercano a 1. Esto le permitió extraer conclusiones del estilo de que un 99 por ciento de los valores iniciales mayores que mil billones alcanzarán finalmente un valor inferior a 200.

Se puede sostener que es el resultado más fuerte en la larga historia de la conjetura. «Es un gran avance en nuestro conocimiento de lo que ocurre en este problema», dice Langarias. «Es ciertamente el mejor resultado en muchísimo tiempo».

El método de Tao es casi con toda certeza incapaz de recorrer hasta el final el camino de una prueba completa de la conjetura de Collatz. La razón es que su muestra de partida sigue sesgándose un poco tras cada paso del proceso. El sesgo será mínimo mientras la muestra contenga todavía muchos valores diferentes lejanos de 1. Pero a medida que el proceso de Collatz continúa y los números de la muestra se acercan a 1, el pequeño efecto sesgador se vuelve más y más pronunciado, tal y como un pequeño error de cálculo en una encuesta no importa mucho cuando el tamaño de la muestra es grande pero resulta desproporcionado si es pequeña.

Toda prueba de la conjetura completa dependerá seguramente de un enfoque diferente. Como resultado, el trabajo de Tao es a la vez un triunfo y una advertencia para quienes sienten curiosidad por el problema de Collatz: justo cuando crees que lo tienes contra las cuerdas, se escabulle.

«Cabe acercarse cuanto se quiera a la conjetura de Collatz, pero seguirá estando fuera de alcance», dice Tao.

Kevin Hartnett / Quanta Magazine

Artículo original traducido por Investigación y Ciencia con el permiso de QuantaMagazine.org, una publicación independiente promovida por la Fundación Simons para potenciar la comprensión pública de la ciencia.

Referencia: «Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values», de Terence Tao, en arXiv:1909.03562 [math.PR].

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