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De la órbita de Neptuno a los diagramas de Feynman

La teoría de perturbaciones es uno de los métodos de cálculo más potentes en física. Un sencillo ejemplo con el número áureo permite ilustrar cómo funciona.

LA TEORÍA DE PERTURBACIONES nació en el ámbito de la mecánica celeste para resolver de manera aproximada las complejas ecuaciones que gobiernan el movimiento de más de dos cuerpos. Hoy su uso se ha extendido a todos los ámbitos de la física. [GETTY IMAGES/FILO/ISTOCK]

A la hora de resolver un problema matemático, la educación que recibimos en la escuela y en el bachillerato se centra en encontrar soluciones cerradas y exactas. Esto genera la falsa expectativa de que esa es la única manera seria de resolver un problema. Sin embargo, la inmensa mayoría de los problemas del mundo real no admiten soluciones de semejante brillo. En los pocos ejemplos «irresolubles» con los que pueda encontrarse un alumno, como alguna ecuación trascendente, la cuestión se solventa invocando el cálculo numérico, lo que, además, suscita la falsa creencia de que esa es la única vía posible en tales casos. Pero lo cierto es que existen potentísimos métodos analíticos, de «lápiz y papel», para resolver muchos de esos problemas. Uno de ellos es la teoría de perturbaciones, una técnica cuya importancia en física resulta imposible de sobreestimar.

A partir de las «perturbaciones», o pequeñas variaciones anómalas, observadas en la órbita de Urano, el matemático francés Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811-1877) dedujo la existencia de un planeta desconocido hasta entonces. Usando las leyes de la mecánica y de la gravitación universal, calculó su masa y su órbita. El 23 de septiembre de 1846, el astrónomo alemán Johann Gottfried Galle (1812-1910) apuntó su telescopio a tan solo un grado de la posición predicha por Le Verrier y descubrió Neptuno. La predicción matemática y el hallazgo del planeta se repitieron en paralelo y de forma independiente con los cálculos del matemático británico John Couch Adams y las observaciones astronómicas de su compatriota James Challis.

En 1687, Sir Isaac Newton había publicado sus Principia, donde se postulaban las tres leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal que más tarde emplearían Le Verrier y Adams para predecir la posición de Neptuno. Para ello, estos teóricos tuvieron que enfrentarse a ecuaciones diferenciales carentes de solución exacta, o «no integrables», como dicen los matemáticos. Así que decidieron atacar esas ecuaciones con métodos perturbativos. Tales métodos llevaron de cabeza al propio Newton, quien ya los había explorado al intentar precisar la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.

Deformar una solución conocida

Pero ¿en qué consiste la teoría de perturbaciones? Este método se basa en hallar una solución aproximada a aquellos problemas que no sabemos o que no es posible resolver exactamente, partiendo de la solución a un problema más sencillo y que sí sabemos resolver. Un ejemplo típico nos lo proporciona el movimiento de un asteroide bajo la atracción gravitatoria del Sol y de Júpiter: un problema de tres cuerpos que, como es bien sabido, carece de solución general.

Sin embargo, en este caso se da una circunstancia que resulta de enorme ayuda: la masa del Sol es unas mil veces mayor que la de Júpiter. Por tanto, podemos concluir que la órbita del asteroide vendrá dictada esencialmente por la atracción gravitatoria solar, la cual se verá solo ligeramente modificada por el influjo de Júpiter.

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