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La hipótesis de Riemann (y IV)

La música de los números primos.

En el siglo XVIII, Leonhard Euler (izquierda) definió la función zeta como la suma infinita ζ(s) = 1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s..., donde la variable s tomaba valores reales. En 1859, Bernhard Riemann (derecha) logró extender el dominio de definición de ζ(s) a todo el plano complejo y halló una fórmula que relacionaba dicha función con la distribución de los números primos. El resultado conectó dos grandes áreas de las matemáticas —el análisis de funciones complejas y la teoría de números— y dio lugar a un ambicioso programa de investigación que continúa hoy. [JAKOB EMANUEL HANDMANN, DOMINIO PÚBLICO (Euler); AUTOR DESCONOCIDO, DOMINIO PÚBLICO (Riemann)]

Un año, Hardy pasó sus vacaciones con Bohr en Dinamarca. Acabado el verano, debía regresar a Inglaterra para comenzar el curso, pero solo había disponible un pequeño barco (no había tráfico aéreo en aquel tiempo). Como es sabido, a
veces el mar del Norte puede estar bastante revuelto, y la probabilidad de que un
pequeño barco como aquel se hundiera no era exactamente cero. Como no tenía otra opción, Hardy embarcó, pero se le ocurrió enviar una postal a Bohr con el siguiente texto: «He demostrado la hipótesis de Riemann —G. H. Hardy». Si el barco se hundía y se ahogaba, razonó, todo el mundo creería que había demostrado la hipótesis de Riemann. Pero Dios no consentiría que él tuviera ese gran honor, y por eso no dejaría que el barco se hundiera. Obviamente, puesto que Hardy llegó a salvo a Inglaterra, este curioso seguro de vida fue eficaz.

—George Pólya (1887–1985)

En el año 1900, el alemán David Hilbert, uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos, pronunció una conferencia durante la celebración del Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. En ella Hilbert enunció los que, desde su punto de vista, debían ser considerados los 23 problemas no resueltos más importantes de las matemáticas, aquellos en los que la comunidad debería volcar todos sus esfuerzos.

En conmemoración del centenario de la conferencia de Hilbert, el 24 de mayo del año 2000, el Instituto Clay de Matemáticas anunció en un congreso en París que premiaría con un millón de dólares a quien lograra demostrar cualquiera de los siete problemas matemáticos que desde entonces se conocen como los Problemas del Milenio. De la selección original de Hilbert, solo uno aparecía en la nueva lista: la hipótesis de Riemann. Hoy, esta conjetura, que en ocasiones ha sido calificada como el problema abierto más importante de toda la matemática, sigue sin resolver.

Una de las razones por las que la conjetura de Riemann es importante es porque se encuentra relacionada con la distribución de los números primeros. A lo largo de esta serie hemos visto que, por un lado, los números primos parecen surgir en la sucesión de los naturales de manera caótica, sin seguir ningún patrón obvio. Sin embrago, para números muy grandes, la «función contador» de los números primos (la que nos dice cuántos primos hay por debajo de un número x dado), π(x), se comporta de una forma sorprendentemente regular:

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