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El problema del cumpleaños y la seguridad de nuestras contraseñas

Aplicaciones criptográficas de un acertijo clásico.

EXDEZ/ISTOCKPHOTO (hombre con ordenador); CHUHAIL/ISTOCKPHOTO (pastel); INVESTIGACIÓN Y CIENCIA (composición)

Un problema célebre que ilustra con claridad nuestra falta de intuición a la hora de estimar probabilidades es el llamado «problema del cumpleaños». Reza así: ¿cuántas personas deben encontrarse en una sala para que sea más probable que improbable que dos de ellas cumplan años el mismo día?

Obviando años bisiestos y suponiendo que la probabilidad de nacer en un día cualquiera del año es siempre la misma, mucha gente suele razonar de la siguien-
te ego-manera: «Hay una probabilidad de 1/365 de que una persona cualquiera de la sala haya nacido el mismo día que yo. Por tanto, hay una probabilidad igual a 364/365 de que esa persona y yo no celebremos el cumpleaños el mismo día. Si en la sala somos n personas, entonces la probabilidad de que las (– 1) restantes cumplan años en una fecha distinta que yo es igual a (364/365)n–1. Así pues, la probabilidad de que al menos una comparta el cumpleaños conmigo es 1-(364/365)n–1. Haciendo esta probabilidad igual a 1/2, obtenemos, aproximadamente, n = 253 personas».

El razonamiento es válido, pero no responde a la pregunta inicial. Esta nos pedía calcular la probabilidad de que dos personas cualesquiera cumpliesen años el mismo día. Eso incluye, por supuesto, la probabilidad de que alguien cumpla años cuando yo lo hago, que es lo que acabamos de calcular. Sin embargo, también comprende la probabilidad de que dos o más personas compartan cumpleaños y que este sea distinto del mío.

Hagámoslo bien. El número de cumpleaños distintos que pueden darse entre n personas es 365n (la primera persona puede haber nacido cualquier día del año, la segunda también, etcétera). Calculemos primero la probabilidad de que nadie cumpla años el mismo día. Eso puede ocurrir de 365 × 364 × ⋯ × (365 – n + 1) maneras distintas (la primera persona puede haber nacido en cualquiera de los 365 días; fijado ese cumpleaños, la segunda solo tiene 364 días posibles, etcétera). De modo que la probabilidad de que no haya cumpleaños coincidentes (c.c.) es:

 Juegos-fórmula-1.jpg

lo que nos da una probabilidad complementaria igual a:

 Juegos-fórmula-2.jpg

 Ahora podremos comprobar que, con solo n = 23 personas, dicha probabilidad asciende a 0,507. Moraleja: si bien un hecho puede ser improbable, lo es mucho menos que se dé un caso concreto.

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