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El problema de los tres cuerpos

Aunque los matemáticos saben que nunca podrán resolver completamente este problema centenario, han realizado algunos descubrimientos fascinantes abordando pequeñas partes del mismo.

CHRIS BUZELLI

En síntesis

Uno de los problemas más antiguos en matemáticas y física es el de los tres cuerpos: ¿cómo se moverán en el futuro tres objetos mutuamente atraídos por su gravedad, dadas sus posiciones y velocidades actuales?

Isaac Newton fue el primero en plantear el problema. Más tarde se demostró que era irresoluble: en general es imposible encontrar una fórmula que prediga exactamente las órbitas de los tres cuerpos.

No obstante, los investigadores han hallado soluciones interesantes para algunos casos concretos. El estudio del problema de los tres cuerpos les ha permitido descubrir nuevos y fascinantes principios matemáticos.

Corría la primavera de 2014 y yo casi me había dado por vencido con el problema de los tres cuerpos. Sin ideas, comencé a programar en mi portátil con la idea de generar y examinar soluciones aproximadas. Esa estrategia no resolvería mi problema, pero quizá me proporcionara algunas pistas valiosas. Sin embargo, mi escasa pericia como programador y la impaciencia resultante ralentizaron el proceso y lo convirtieron en una experiencia desagradable para un matemático como yo, acostumbrado a trabajar con lápiz y papel. Así que contacté con mi viejo amigo Carles Simó, catedrático en la Universidad de Barcelona, para convencerlo de que me ayudara con mis torpes pesquisas.

Ese otoño viajé a España para encontrarme con Simó, considerado uno de los analistas numéricos más ingeniosos y meticulosos en el campo de la mecánica celeste. Simó, además, es una persona directa que no pierde el tiempo ni se anda con rodeos. Tras exponerle mi duda, me miró con ojos penetrantes y preguntó: «Richard, ¿por qué te importa esto?».

La respuesta se remonta a los orígenes del problema de los tres cuerpos. Isaac Newton planteó y resolvió el problema (más sencillo) de los dos cuerpos en 1687, cuando publicó sus Principia. Se preguntó: «¿Cómo se moverán dos masas en el espacio si la única fuerza que experimentan es su mutua atracción gravitatoria?». Newton formuló el problema mediante un sistema de ecuaciones diferenciales —las cuales dictan el movimiento futuro de un objeto a partir de su posición y velocidad en un momento dado— y las resolvió completamente. En las soluciones, también llamadas órbitas, cada objeto describe una cónica (un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola). Al encontrar todas las posibles órbitas, Newton derivó las leyes empíricas del movimiento planetario que Johannes Kepler había publicado en 1609 y que sintetizaban decenios de observaciones astronómicas de su difunto patrono, Tycho Brahe.

La primera ley de Kepler dice que cada planeta (o cometa) se mueve a lo largo de una cónica que tiene el Sol como foco. Sin embargo, en las soluciones de Newton los dos cuerpos (el Sol y el planeta) describen cónicas distintas, con un foco común que coincide con el centro de masas de ambos cuerpos. Pero como el Sol es mucho más masivo que cualquier planeta, el centro de masas del sistema Sol-planeta se sitúa dentro de la estrella, muy cerca de su propio centro de masas; en consecuencia, este apenas se bambolea alrededor del centro de masas común, trazando una elipse muy pequeña.

Si consideramos tres masas en lugar de dos, tendremos el problema de los tres cuerpos. Las órbitas son de nuevo las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales, pero en este caso resulta difícil o imposible encontrar fórmulas explícitas para ellas. Hasta la fecha, a pesar de los potentes ordenadores modernos y los siglos de trabajo de brillantes matemáticos y físicos, solo disponemos de fórmulas explícitas para cinco familias de órbitas, tres de ellas halladas por Leonhard Euler (en 1767) y dos por Joseph-Louis Lagrange (en 1772).

En 1890, Henri Poincaré descubrió comportamiento caótico en el problema de los tres cuerpos, lo que implica que nunca podremos conocer todas sus soluciones con un detalle ni remotamente similar al de la solución completa de Newton para el problema de los dos cuerpos. Sin embargo, es posible generar segmentos finitos de órbitas aproximadas mediante la integración numérica, un procedimiento que los ordenadores realizan de manera eficaz y que resulta esencial en la planificación de misiones espaciales. Incrementando el tiempo de ejecución de nuestro algoritmo, podemos obtener aproximaciones tan precisas como queramos.

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