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  • Febrero 2019Nº 509
Juegos matemáticos

Sucesiones numéricas

Sucesiones meta-Fibonacci

Estructuras fractales aún misteriosas pero fáciles de explorar con un simple ordenador.

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En su monumental obra Gödel, Escher, Bach: Un eterno y grácil bucle, publicada en 1979, Douglas R. Hofstadter presentó, adornada como un pequeño misterio, la sucesión Q. Aquel fue el primer ejemplo de «sucesión meta-Fibonacci». Aunque estas sucesiones gozan de una definición muy sencilla, exhiben un interesante grado de complejidad que sigue planteando numerosas preguntas a los matemáticos. ¿En qué consisten?

Recordemos que la famosa sucesión de Fibonacci queda definida a través de la siguiente relación de recurrencia:

 F(n) = F(n–1) + F(n–2) ,

donde F(n) denota el término n-ésimo de la sucesión: para generarlo, basta con sumar los dos términos anteriores. Ello implica que necesitamos dos condiciones iniciales para que la sucesión esté bien definida; en este caso, dichas condiciones son F(1) = F(2) = 1. Así pues, para computar el tercer término hacemos F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2. Aplicando esta relación de  recurrencia obtenemos la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

La sucesión Q de Hofstadter, etiquetada como A005185 en la Enciclopedia en Línea de Sucesiones de Enteros de Neil J. A. Sloane (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, oeis.org), se define también recursivamente:

 Q(n) = Q(nQ(n–1)) +
Q(nQ(n–2)) ,

 con condiciones iniciales Q(1) = Q(2)=1. Al igual que antes, para generar un término dado sumamos dos términos previos. Pero ahora no son siempre los dos inmediatamente anteriores, sino los que ocupan las posiciones nQ(n–1) y nQ(n–2)... ¡los cuales irán variando con los valores de la propia sucesión! A ello se debe que usemos el prefijo meta-.

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