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Vórtices anudados en fluidos ideales

Un trabajo demuestra matemáticamente la existencia de estructuras estables con forma de nudo en líquidos y gases. El fenómeno se remonta a una conjetura sobre las ecuaciones de Euler planteada en 1875 por Lord Kelvin para explicar la estructura atómica de la materia.

Un teorema en el laboratorio: Tras casi un siglo y medio de intentos, la riqueza topológica de las ecuaciones de Euler ha sido demostrada matemáticamente y verificada en el laboratorio. La imagen, obtenida a partir de los datos de una cámara ultrarrápida, muestra un vórtice de agua con forma de trébol creado por William Irvine y Dustin Kleckner en el Laboratorio de Mecánica de Fluidos de la Universidad de Chicago. [CORTESÍA DE D. KLECKNER Y WILLIAM IRVINE/UNIVERSIDAD DE CHICAGO]

[Nota de los editores: A. Enciso y D. Peralta-Salas han sido galardonados, por el trabajo que ha motivado este artículo, con el premio internacional Barcelona Dynamical Systems 2015 que otorga la Sociedad Catalana de Matemáticas a los autores de resultados de investigación de mayor relevancia en el campo de los sistemas dinámicos.]

En 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler publicó las ecuaciones que describen el movimiento de los fluidos ideales: un sistema de cuatro ecuaciones diferenciales que, obtenidas a partir de las leyes de Newton, dan cuenta de la dinámica de los líquidos y gases incompresibles y no viscosos. A pesar de sus innumerables aplicaciones en la ciencia y la industria, las ecuaciones de Euler revisten tal riqueza y complejidad que, más de 250 años después, el estudio de sus soluciones sigue planteando todo tipo de retos a la comunidad científica.

Fue justamente el análisis de dichas ecuaciones lo que en 1875 llevó a William Thomson, más tarde conocido como Lord Kelvin, a enunciar una famosa conjetura. Unos años antes, el físico británico había planteado la posibilidad de que los átomos fuesen «nudos» de éter, un fluido no viscoso (y, por tanto, descrito por las ecuaciones de Euler) que en aquella época se pensaba que impregnaba todo el universo. Pero, para que aquella propuesta tuviese sentido, las ecuaciones de Euler debían admitir soluciones estables que describiesen dichas geometrías anudadas.

Aunque la existencia del éter fue descartada algunos años después, la cuestión de si las ecuaciones de Euler admiten o no soluciones como las propuestas por Kelvin permanecería abierta durante casi 150 años. Hace poco, los autores de este artículo conseguimos demostrar la conjetura de Kelvin. Aparte de resolver un problema centenario, las herramientas desarrolladas en el proceso conectan distintas áreas de las matemáticas y prometen interesantes aplicaciones en otros campos.

Lazos de agua

A mediados del siglo XIX, Hermann von Helmholtz halló un interesante resultado sobre las ecuaciones de Euler. Demostró que sus soluciones incluían ciertas estructuras, a las que denominó «tubos de vorticidad», o «vórtices», las cuales se deformaban de manera muy simple con el movimiento del fluido. En términos sencillos, podemos imaginar un vórtice como una región en la que el fluido rota alrededor de cierto eje, como ocurre en un tornado.

Helmholtz demostró que, en el seno de un fluido ideal, los vórtices debían quedar unidos por sus extremos. James Clerk Maxwell, el padre de la teoría electromagnética, llamó a dichas estructuras «lazos de agua». Aquel resultado teórico fue ilustrado experimentalmente por el físico Peter Tait, quien construyó un cañón que escupía vórtices de humo con forma de anillo.

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