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  • Investigación y Ciencia
  • Diciembre 2018Nº 507

Historia de la ciencia

Cien años del teorema de Noether

Figura dominante de la escuela alemana de álgebra, la matemática Emmy Noether sentó una de las piedras angulares de la física teórica moderna al demostrar la relación entre simetrías y cargas conservadas.

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En 1918, hace ahora cien años, la matemática alemana Emmy Noether publicó un artículo titulado Invariante Variationsprobleme («Problemas variacionales invariantes»). Hoy, ese trabajo y los teoremas que la autora demostró en él se consideran uno de los grandes hitos en el desarrollo de la física teórica del siglo XX. Sin embargo, aquellos logros solo se harían célebres de manera póstuma. Su condición de mujer y la modesta opinión que ella misma tenía de sus propios resultados son solo dos de las razones que explican esta circunstancia.

Tanto en vida como hasta mucho después de su muerte, acaecida en 1935, Noether tuvo su nombre asociado exclusivamente al papel determinante que, en los años veinte, desempeñó en el desarrollo del álgebra abstracta moderna. En parte debido a su influencia y prestigio como algebrista, pocos supieron ver que Noether elucidó algunas sombras matemáticas de la teoría de la relatividad general de Einstein; en particular, las referentes a las leyes de conservación.

Con todo, es necesario enfatizar que el teorema principal demostrado por Noether hacía gala de una gran generalidad: trataba tanto de la mecánica clásica como de las teorías de campos, de las cuales el electromagnetismo o la relatividad general no son más que ejemplos particulares. De hecho, el teorema de Noether proporciona una profunda visión sobre las leyes de conservación en casi cualquier sistema físico, al relacionarlas estrechamente con sus simetrías, o «invariancias».

Entre las aplicaciones de este teorema clave encontramos las conocidas leyes de conservación de la cantidad de movimiento, el momento angular y la energía. Así, el teorema de Noether implica que la conservación de la cantidad de movimiento total de un sistema físico aislado se debe a la simetría frente a traslaciones espaciales; es decir, al hecho de que las ecuaciones que describen la dinámica del sistema permanecen invariantes cuando este se traslada (cuando cambiamos el origen del sistema de coordenadas o, de manera equivalente, cuando modificamos la posición del sistema). De igual modo, la conservación del momento angular obedece a la simetría frente a rotaciones, y la conservación de la energía surge como consecuencia de la simetría frente a traslaciones en el tiempo.

Hoy, el teorema de Noether ocupa un lugar prominente en todos los libros de texto de física moderna. Sin embargo, como ha señalado la matemática de la Escuela Politécnica de Francia Yvette Kosmann-Schwarzbach en su libro de 2006 Les théorèmes de Noether (una referencia sobre el tema), los físicos tardaron un tiempo en apreciar su importancia. E incluso hoy, pocas veces se hace hincapié en el hecho de que el artículo original de Noether contenía no solo uno, sino dos teoremas fundamentales. De hecho, ambos resultan esenciales para entender la motivación original de su trabajo; a saber, la distinción entre lo que Noether llamó leyes de conservación «limpias» e «impropias». Tales investigaciones se desarrollaron en el contexto de complejas discusiones sobre la conservación de la energía en la relatividad general, un marco que describiremos brevemente a aquí.

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