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1 de Agosto de 1983
Matemáticas

Georg Cantor y la teoría de conjuntos transfinitos

¿Cuán grande es un conjunto infinito? Cantor hizo ver que hay una jerarquía de infinitos, cada uno "mayor" que su precedente. Su teoría es una de las piedras angulares de la matemática.

La naturaleza del infinito ha sido siempre objeto de controversia. Las famosas paradojas de Ze­nón de Elea, quien explicó con inquietante lucidez que el movimien­to es imposi­ble, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de la física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálculo de tasas de va­riación de lo infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulación matemáticamente rigurosa de esta idea, cuya eficacia es tan gran­de cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nuevos pro­blemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos, teoría que proporciona fundamento y cimentación a prácticamente la totalidad de las matemáticas contemporáneas. Además, la idea de infinito ha estado siem­pre, a través de la historia, cargada de tintes y matices teológicos, que han pesado en la aceptación o en el rechazo de este concepto y de las doctrinas matemáticas o filosóficas con él asociadas. Todas estas corrientes de pensamiento convergen en la vida y obra del matemático Georg Cantor.

La obra a la que Cantor dedicó su vi­da es, en substancia, bien conocida. Al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfini­tos", dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacer­lo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a funda­mentar el cálculo diferencial y el con­tinuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indife­renciada. No todos los conjuntos infinitos son de igual tamaño; por consi­guiente, es posible establecer compara­ciones entre ellos. El conjunto de todos los puntos de una recta, por ejemplo, y el conjunto de todos los números frac­cionarios son, ambos, conjuntos infini­tos. Demostró que, en un sentido bien definido, el pri­mero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el segun­do. Resultaron tan chocantes a la intuición de sus contemporáneos las ideas de Cantor, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "en­fermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leo­pold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle direc­ta y personalmente, calificándolo de "charlatán científico", "renegado" y "corruptor de la juventud".

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