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Más allá del último teorema de Fermat

Los matemáticos han averiguado cómo extender la correspondencia de Langlands, un misterioso puente que conecta dos continentes lejanos del mundo matemático.

DANIEL CASTRO MAIA, QUANTA MAGAZINE

En síntesis

Hace unos 50 años, Robert Langlands conjeturó la existencia de un puente entre dos «continentes» del mundo matemático, habitados respectivamente por las ecuaciones diofánticas y las formas automorfas.

La demostración del último teorema de Fermat que halló Andrew Wiles en la década de 1990 estableció esa correspondencia de Langlands entre dos pequeñas regiones de los dos continentes.

Los matemáticos enseguida comenzaron a extender el puente a regiones más amplias, pero pronto se toparon con un obstáculo. Dos recientes artículos han logrado sortearlo.

Cuando Andrew Wiles demostró el último teorema de Fermat a principios de la década de 1990, su prueba fue aclamada como un avance colosal no solo para los matemáticos, sino para toda la humanidad. El teorema no puede ser más simple: postula que no existen tres números enteros positivos x, y, z que satisfagan la ecuación xn + yn = zn cuando n es mayor que 2. A pesar de su sencillez, este enunciado atormentó a legiones de entusiastas que aspiraron a demostrarlo durante más de 350 años, desde que Pierre de Fermat lo garabateara en el margen de un ejemplar de la Aritmética de Diofanto en 1637. Como es bien sabido, Fermat escribió que había descubierto «una demostración realmente maravillosa, que no cabe en este margen tan estrecho». Durante siglos, matemáticos profesionales y aficionados se afanaron por hallar la prueba de Fermat, o cualquier otra.

Wiles finalmente concibió una demostración (con la ayuda de Richard Taylor) que Fermat jamás habría imaginado. Abordó el teorema de manera indirecta, por medio de un monumental puente —cuya existencia ya había sido conjeturada— entre dos continentes distantes del mundo matemático, por así decirlo. La prueba de Wiles del último teorema de Fermat básicamente consistió en establecer esa conexión entre dos pequeñas regiones de los dos continentes. La demostración, rebosante de ideas profundas e innovadoras, desencadenó una cascada de resultados adicionales relacionados con los dos lados del puente.

Desde esa perspectiva, la impresionante demostración de Wiles no hizo sino resolver una pieza minúscula de un rompecabezas mucho mayor. Toby Gee, del Colegio Imperial de Londres, la considera «uno de los mejores resultados matemáticos del siglo XX». Sin embargo, no suponía más que «una pequeña esquina» de ese hipotético puente, que se conoce como correspondencia de Langlands.

El puente completo ofrecería la esperanza de iluminar vastos sectores de las matemáticas, pasando conceptos de un continente a otro. Muchos problemas que parecen difíciles en un extremo del puente, incluido el último teorema de Fermat, se transforman en otros más sencillos cuando los trasladamos al otro lado.

Tras la demostración de Wiles, otros matemáticos se lanzaron a desplegar el puente sobre regiones ligeramente más amplias de ambos continentes. Y entonces se toparon con un muro. El puente podía prolongarse de manera natural en dos direcciones distintas, pero en ambos casos el método de Taylor y Wiles se enfrentaba a lo que parecía una barrera insuperable.

«La gente le dedicó mucho tiempo», apunta Ana Caraiani, del Colegio Imperial de Londres, pero «estábamos casi convencidos de que no era posible».

Ahora, dos artículos (que representan la culminación del trabajo de más de una docena de matemáticos) han salvado esa barrera, esencialmente resolviendo ambos problemas. Con el tiempo, estos hallazgos podrían ayudar a los matemáticos a demostrar el último teorema de Fermat para otros sistemas numéricos más allá de los enteros positivos.

Estamos hablando de «resultados cruciales», asegura Matthew Emerton, de la Universidad de Chicago. «Se han descubierto varios fenómenos fundamentales de la teoría de números y apenas hemos comenzado a entenderlos.»

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