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Ocho rompecabezas y un juego

El triángulo de bolas, una paradoja versificada y un surtido de problemas.

Presento aquí un revoltillo de ocho problemas, acompañados de una nota acerca del popular juego de tablero llamado Otelo. [Las soluciones, al final del artículo.]

El triángulo de bolas de billar americano. Me cuenta el coronel George Sicherman, de Buffalo, que hace unos 10 años, al observar una partida de billar, se le ocurrió el siguiente problema: ¿Es posible formar un «triángulo de diferencias» al situar las bolas en la disposición triangular habitual antes de comenzar una partida? En un triángulo de diferencias se sitúan los números de 1 a 15 de modo que, debajo de cada par de números se halle su diferencia positiva.

Es evidente, por la figura 1, que el problema resulta trivial con las bolas numeradas 1, 2 y 3, y que con ellas se pueden obtener dos soluciones. La ilustración muestra también las cuatro soluciones posibles con seis bolas, y las cuatro correspondientes a diez. Para sorpresa de Sicherman, con las quince bolas se tiene solamente una solución fundamental (salvo simetría). ¿Podría hallarla el lector?

La búsqueda de la solución se simplifica notablemente estudiando en primer lugar disposiciones triangulares de pares (P) e impares (I), a fin de ver en cuáles de ellas hay precisamente ocho lugares impares y siete pares. No se tarda mucho en descubrir que solamente hay cinco posibles disposiciones de la hilera superior del triángulo: PPIPI, IPPPI, IIIPP, IIIIP, IIPPI. Es evidente que la bola número 15 ha de hallarse en la hilera superior y que la bola número 14 ha de estar, o bien en la misma fila, o bien debajo de la 15 y la 1. Otras tretas como esta abrevian un análisis agotador.

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