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1 de Abril de 2018
Números irracionales

Variaciones sobre un tema inconmensurable

Once demostraciones de la irracionalidad de √2 y una reflexión sobre la enseñanza de las matemáticas.

«Demostración sin palabras» de la irracionalidad de √2 publicada en 2012 por el matemático Grant Cairns. La figura muestra el tercer paso de un proceso de descenso infinito.

Se suele fechar el nacimiento de la matemática en su sentido moderno en el siglo V a.C., en el seno de la escuela pitagórica. El aforismo «todo es número», en boca del propio Pitágoras, resume la filosofía de esta secta y sigue constituyendo desde entonces el núcleo de la ciencia moderna: podemos desentrañar las leyes del universo gracias a las matemáticas.

Los pitagóricos creían que el mundo estaba hecho de relaciones simples entre números enteros; es decir, de números racionales. De hecho, la palabra racional hace referencia al ratio, al cociente, de números enteros. El equivalente geométrico era el término conmensurable, el cual todavía usamos para describir dos longitudes cuya razón es un número racional. Dos longitudes son conmensurables si podemos dividir una de ellas en k partes iguales, de tal modo que la segunda sea también un múltiplo exacto de una de esas partes.

Por todo ello, cuando los pitagóricos descubrieron que existían magnitudes inconmensurables, que no podían expresarse como cociente de números enteros, intentaron mantenerlo en secreto. Su revelación final supuso un escándalo que probablemente acabó con la escuela. Desconocemos realmente quién descubrió esas malditas magnitudes inconmensurables. Una historia muy extendida lo imputa al pitagórico heterodoxo Hípaso de Metaponto. La leyenda relata cómo la secta pitagórica consideró a Hípaso un traidor y lo arrojó al mar.

Reducción al absurdo
Irónicamente, el descubrimiento de los números irracionales llegó gracias a la joya pitagórica más preciada: el teorema de Pitágoras. El malogrado Hípaso u otro pitagórico demostró que la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad,

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no podría expresarse nunca como un cociente de números enteros, a/b. Para abrir boca, recordemos esta clásica demostración de nuestros tiempos de instituto.

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