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Actualidad científica

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  • Investigación y Ciencia
  • Abril 2015Nº 463
Juegos matemáticos

Teoría de conjuntos

Un modelo no estándar

Cómo recuperar el cálculo diferencial a partir de elementos hiperreales.

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En columnas anteriores hemos hablado de los modelos no estándar de la aritmética [véase «Limitaciones expresivas»; Investigación y Ciencia, enero de 2014] y del análisis real [véase «Eventos posibles de probabilidad cero»; Investigación y Ciencia, abril de 2013]. Tales modelos pueden entenderse como «representaciones alternativas» de las reglas usuales de la aritmética y el cálculo: aunque contienen elementos que satisfacen todas las propiedades que solemos asociar a los números naturales o reales, dichos elementos no pertenecen a esos conjuntos.

En esta columna exploraremos uno de los modelos no estándar mejor estudiados en la teoría del análisis real. Estos modelos presentan la curiosa propiedad de que, si bien obedecen los mismos principios que ℝ (siempre y cuando puedan formularse en un lenguaje de primer orden), contienen elementos concretos que, en un sentido preciso, son infinitamente pequeños o infinitamente grandes.

Antes, sin embargo, hemos de introducir otros personajes.

Filtros y ultrafiltros
Consideremos un conjunto X. Si F denota una colección de subconjuntos de X, diremos que F es un filtro en X si y solo si satisface las siguientes condiciones:

X es miembro de F.
• Si A y B son miembros de F, entonces su intersección, AB, también pertenece a F.
• Si A es miembro de F y AC (con CX), entonces C es miembro de F.

De manera intuitiva, podemos pensar en un filtro como en un objeto que, al igual que un colador, nos permite extraer ciertos subconjuntos de X.

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