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Breve historia del infinito

La noción de infinito siempre ha sido escurridiza. Puede incluso que la teoría matemática más aceptada, la desarrollada por Georg Cantor, no haya situado al infinito sobre fundamentos verdaderamente rigurosos.

Al igual que casi todo el mundo, durante más de dos milenios los matemáticos no han sabido a ciencia cierta qué pensar del infinito. Varias paradojas ideadas por los pensadores griegos y medievales les habían convencido de que acerca del infinito no se podía reflexionar impunemente. Así estaban las cosas en los años setenta del siglo pasado cuando Georg Cantor desveló la matemática transfinita, rama de las matemáticas que aparentemente resolvía todas las paradojas que planteaba el infinito. Cantor, en su obra, demostraba que existían números infinitos, que los había de distinto tamaño y que podían utilizarse para medir la extensión de conjuntos infinitos. Pero, ¿llegó realmente a disipar todas las dudas suscitadas por el infinito? En la actualidad, casi todo el mundo opina que sí, pero yo me atrevo a señalar que podría, en verdad, haber reforzado tales dudas.

La hostilidad de los matemáticos hacia el infinito comenzó en el siglo V antes de Cristo, cuando Zenón de Elea, discípulo de Parménides, enunció la conocida paradoja de Aquiles y la tortuga [véase "Una resolución de las paradojas de Zenón", por William I. McLaughlin, en INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, enero de 1995]. En esa aporía, el veloz semidiós desafía a una tortuga en una carrera, concediéndole cierta ventaja. Antes de poder adelantarla, Aquiles ha de alcanzar el punto del que la tortuga partió, pero en ese momento el quelonio habrá avanzado un poco. Aquiles ha de recorrer entonces la nueva distancia que los separa, pero cuando lo haya hecho la tortuga habrá avanzado un poquito más. Y así sucesivamente, ad infinitum. Parece que Aquiles no podrá adelantar nunca a la tortuga. De igual manera, Zenón argüía que nunca sería posible recorrer por completo una pista de carreras. Para hacerlo sería necesario alcanzar el punto medio, después el punto situado a tres cuartos, después el situado a siete octavos, y así sucesivamente. Zenón llegó a la conclusión de que no sólo el movimiento es imposible, sino que más valdría no pensar en lo infinito.

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