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  • Abril 2019Nº 511
Juegos matemáticos

Sucesiones numéricas

El duelo de los matemáticos Thue y Morse

Las sorprendentes propiedades de una sucesión binaria que ha aparecido en contextos tan dispares como la teoría de números, la topología o incluso el ajedrez.

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Esta madrugada los matemáticos Thue y Morse van a batirse en duelo. Sus padrinos, los también matemáticos Prouhet y Euwe, no han podido hacerlos desistir. De nada ha servido que Prouhet, con unas copas de más, los llamara «duelistas a lo Galois» o que Euwe, con aún más copas encima, les dijera que fallaban más que una escopeta de feria. De modo que, como padrinos, se vieron obligados a decidir las reglas del duelo.

Tras determinar que ambos tenían la misma patética probabilidad p ≪ 1 de atinar, decidieron que el primero en disparar sería elegido al azar y que, a partir de ahí, se turnarían hasta que alguno acertara al contrincante.

Thue y Morse están ya armados y espalda contra espalda. Prouhet anuncia solemnemente el duelo y Euwe comienza la cuenta de pasos. Treinta zancadas después, ambos duelistas se giran y Thue —así lo ha querido el azar— apunta para llevar a cabo su primer intento. Entonces Prouhet, a quien se le está pasando la borrachera y comienza a sospechar que la cosa puede acabar mal, dice:

—¡Un momento! Tal vez la norma que hemos acordado no sea tan justa.

—Desde luego no para nosotros —responde socarronamente Euwe—, porque esto va a durar una eternidad... si es que antes no nos pegan un tiro a nosotros.

—Explícate rápido —le espeta nervioso Thue—, que este pistolón pesa horrores.

—Si cuando tú disparas escribimos un 0 y cuando lo hace Morse un 1, la secuencia 0101010101... codifica la regla que hemos pactado —comienza Prouhet—. Supongamos, sin pérdida de generalidad, puesto que ambos tenéis la misma probabilidad p de acertar, que empiezas tú, como de hecho está ocurriendo. ¿Qué probabilidad de sobrevivir tienes?

—La probabilidad que nos pides es la suma de todas las probabilidades de que el duelo acabe con un acierto de 0 —interviene Morse, que parece haberse olvidado de que Thue le apunta a la cabeza con un pistolón.

—¡Exacto! —prosigue animado Prouhet—. El duelista 0 acertará el primer disparo con probabilidad p. Para vencer en el tercero, 0 debe fallar el primero, 1 fallar el segundo y 0 acertar el siguiente, algo que sucederá con probabilidad (1 – p)2p...

Euwe, que de repente ve la posibilidad de volver al bar, dice:

—Hay algo más. Una cosa es que al final de la secuencia infinita ambos tengan la misma probabilidad de ganar, y otra que el duelo haya sido lo más justo posible en cada momento... No parece fácil de resolver, así que, ¿por qué no regresamos al bar y resolvemos el duelo con una partida de ajedrez?

—Espera —dice Thue— se me ocurre que podemos encontrar la solución justa para cualquier valor de p.

—¿Cómo? —dicen al unísono los otros tres.

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