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La isla de Koch, los fractales keplerianos y el tétrix

Generalizaciones fractales en 3D de la trompeta de Torricelli.

Generalización tridimensional del triángulo de Sierpinski. En el límite fractal, esta figura, conocida como tétrix, presenta una superficie de área finita y volumen nulo. [GEORGE W. HART/WIKIMEDIA COMMONS/DOMINIO PÚBLICO]

El mes pasado discutimos por qué el sólido de revolución que engendra la gráfica de la función 1/x al rotarla sobre el eje X levantó una tremenda polvareda intelectual entre matemáticos y filósofos del siglo XVII. La razón es que dicho sólido, conocido como trompeta de Torricelli, presenta una superficie de área infinita (algo que no sorprende, ya que la longitud de su eje de rotación no está acotada), pero encierra sin embargo un volumen finito, lo que contradice nuestra intuición geométrica.

Para arrojar luz sobre la cuestión construimos lo que denominamos el «pastel de Hilbert»: una especie de versión discreta, o a trozos, de la trompeta de Torricelli. Se trataba de un sólido formado por infinitos pisos cilíndricos de altura 1 y cuyos radios dependían de su posición n en la tarta, de modo que el enésimo cilindro tenía radio 1/n. El área lateral del pastel era por tanto proporcional a la suma infinita de todos los radios (1/n), la cual es divergente. Sin embargo, su volumen era proporcional a la suma infinita de los cuadrados de los radios (1/n2), la cual converge.

Al final comenté que dicha construcción, basada en la repetición infinita de un mismo cilindro reproducido en diferentes tamaños, rezumaba aires fractales y prometí que lo explicaría en esta columna. Vamos allá.

 

La isla de Koch

El matemático sueco Helge von Koch (1870-1924) es recordado por haber creado una de las primeras curvas fractales que se conocen: la famosa «isla de Koch». Para generarla, partimos de un triángulo equilátero de lado unidad, dividimos cada lado en tres partes iguales y sustituimos cada segmento central por otros dos de idéntico tamaño formando un diente. El resultado es una estrella de seis puntas y perímetro 3·4·1/3 = 4 (véase la tabla). Después, repetimos esta transformación de los lados una y otra vez. En el límite de un número infinito de iteraciones, obtenemos la curva de Koch.

Si nos fijamos en la tabla, vemos que la iteración enésima del proceso nos da una curva formada por 3·4n segmentos de longitud 1/3n y, por tanto, con perímetro 3·(4/3)n. La longitud de la curva de Koch viene dada por el límite de esta expresión cuando n tiende a infinito. Y dado que la potencia es de un número mayor que 1, dicho límite es divergente.

Así pues, aunque la isla de Koch ocupa una región acotada del plano y tiene por tanto un área finita (el lector puede demostrar que es A = 0,6928...), ¡su perímetro es infinito! Esto nos recuerda a la relación entre el área infinita y el volumen finito del pastel del Hilbert, solo que en una dimensión menos. Así que podemos preguntarnos: ¿existe una versión tridimensional de la isla de Koch?

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