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La hipótesis de Riemann (I)

Caos en los números primos.

Ladrillos de los números naturales: Esta «espiral de Ulam generalizada», creada por el matemático Jean-François Colonna, muestra una representación de los primeros 1024 números naturales. Cada esfera corresponde a un número; los colores indican números con la misma cantidad de divisores, y el radio de cada esfera es proporcional a la raíz cuadrada del número de divisores. Los números primos están representados por esferas blancas de radio 1. [CORTESÍA DE JEAN-FRANÇOIS COLONNA/CENTRO DE MATEMÁTICAS APLICADAS, ESCUELA POLITÉCNICA DE FRANCIA]

Los matemáticos han intentado en
vano hasta hoy descubrir un orden
en la secuencia de los números
primos, y tenemos razones para creer
que esto es un misterio que no podrá
nunca penetrar la mente humana.

—Leonhard Euler (1707-1783)

 

Puede que Dios no juegue a los dados
con el universo, pero algo extraño
pasa con los números primos.

—Paul Erdös (1913-1996)

 

En la película Contact (1997), adaptación de la novela homónima de Carl Sagan, Ellie Arroway y su equipo captan con radiotelescopios una señal procedente de la estrella Vega. Cuando descubren que la señal repite una y otra vez la secuencia 2, 3, 5, 7, 11, ... Arroway exclama emocionada: «¡Todos son números primos! ¡Es imposible que se trate de un fenómeno natural!».

¿Por qué Sagan apostó por los números primos como prueba inequívoca de inteligencia extraterrestre? Un número primo es un número natural que solo es divisible por 1 y por él mismo. De modo que 2, 3, 5, 7 y 11 son todos primos, como exclamó la doctora Arroway. Y del mismo modo que podemos clasificar los números naturales en dos grupos como pares e impares, podemos también clasificarlos en primos y compuestos. Lo interesante de esta segregación es que los números compuestos pueden «descomponerse» en primos. El número 132, por ejemplo, puede expresarse como 2 × 2 × 3 × 11. Y es más, no existe otra colección de primos distinta cuyo producto dé el mismo resultado.

Sabemos que esto ocurre para todos los números naturales gracias al teorema fundamental de la aritmética. Este afirma que todo número natural n > 1 o bien es primo, o bien puede escribirse (aparte del orden de los factores) como un producto único de números primos:

Aquí r indica el número de primos pi distintos, y ai la multiplicidad de cada uno. En nuestro ejemplo, 132 = 22 × 31 × 111. Por cierto: esta unicidad de la descomposición en primos es una de las razones por las que el 1 no se considera primo. Si lo fuera, podríamos escribir cualquier número como producto de primos de muchas formas diferentes añadiendo una cantidad arbitraria de factores 1.

Al descomponer un número en sus factores primos podemos determinar todos sus divisores, el máximo común divisor de dos o más números o su mínimo común múltiplo, entre otras cosas. El teorema fundamental de la aritmética nos dice que los números primos son a la aritmética lo que los átomos de la tabla periódica a la materia del universo. Esa elementalidad justifica por sí sola la elección de Sagan. Pero si, además, el comportamiento de estos números básicos resulta impredecible y misterioso, se comprende la fascinación que matemáticos y aficionados han sentido por ellos a lo largo de la historia.

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