El yin y el yang fractal

El misticismo oriental, el número áureo y una sucesión infinita de números metálicos.

La representación más conocida del yin y el yang es un círculo dividido en dos regiones entrelazadas y separadas por dos semicircunferencias. En China se conoce como «taijitu de los primeros tiempos» y simboliza los conceptos taoístas del yin, el yang y el taiji, el principio generador de todas las cosas. Es habitual que aparezca rodeado por ocho trigramas del I Ching, como lo hacía en la primera portada de Investigación y Ciencia. [GETTY IMAGES/GEORGEMANGA/ISTOCK, MODIFICADO POR IYC]

La primera columna de «Juegos matemáticos» apareció firmada por Martin Gardner en el primer número de Investigación y Ciencia, en octubre de 1976. La revista se presentaba como la edición en español de Scientific American, donde Mathematical games era, gracias a Gardner, su sección más popular y mundialmente conocida. Años después el testigo de la columna fue tomado sucesivamente por tres grandes divulgadores: Douglas Hofstadter, con el título de Metamagical themas (1981-1983); Alexander K. Dewdney, con Mathematical recreations y Computer recreations (1984-1991); y Ian Stewart, de nuevo con la cabecera Mathematical recreations (1991-2001).

A partir de entonces, Investigación y Ciencia decidió devolver a la sección su título original, «Juegos matemáticos», y ponerla a cargo de un divulgador hispanohablante. El primero en tener ese honor fue Juan Manuel R. Parrondo, uno de los físicos más notables de nuestro país, que la escribió durante ocho años (2001-2008). Después tomaron las riendas los filósofos Agustín Rayo, del Instituto de Tecnología de Massachusetts, y Gabriel Uzquiano, de la Universidad de California del Sur, quienes se ocuparon de ella hasta 2013. Ese año hice mi primera contribución a la sección, que durante cinco años alterné con el filósofo Alejandro Pérez Carballo, de la Universidad de Massachusetts. Desde 2018 la escribo en solitario.

Esta es la última columna de «Juegos matemáticos» en papel porque esta es la última revista en papel de Investigación y Ciencia. A la redacción le pareció que una manera elegante y emotiva de cerrar este ciclo era acabar con una portada semejante a la del primer número, publicado hace ahora 45 años. Aquella portada estaba dedicada precisamente a la columna de Gardner, titulada «La base combinatoria del “I Ching”, el libro chino de la adivinación y la sabiduría», por lo que a la redacción también le pareció conveniente que esta última columna de «Juegos matemáticos» en papel recrease el tema. Así que aquí me tienen, cumpliendo el honor.

En su artículo, Martin Gardner desmenuzaba el libro-oráculo chino conocido como I Ching, sobre el cual poco dejaba por rascar. Sin embargo, algo que aquella columna no trataba era la geometría del famoso símbolo del yin y el yang, que no obstante ocupaba el centro de la portada de aquel primer número de Investigación y Ciencia. Aunque Gardner ya se había ocupado de él en una de sus columnas de Scientific American, traducida a nuestra lengua en el libro recopilatorio Nuevos pasatiempos matemáticos, la referencia aparecía dentro de una pequeña colección de nueve problemas y era una extensión de un acertijo de división del símbolo propuesto por el famoso creador de rompecabezas matemáticos Henry E. Dudeney. Así que pensé que, quizá, jugando con él podría surgir algo interesante. Lo que sigue es el resultado.

El pentagrama pitagórico y el taijitu de los primeros tiempos
El símbolo del yin y el yang, también conocido como «taijitu de los primeros tiempos», es tan reconocible en Oriente como lo es la cruz cristiana en Occidente. Dado que es un símbolo místico, nos trae a la cabeza el que probablemente sea el símbolo místico más famoso de las matemáticas: el pentagrama pitagórico. Una estrella de cinco puntas que, tomadas como vértices, forman un pentágono inscrito en un círculo (véase la figura 1).

Resulta irónico que, a poco que se hurgue en el emblema de la escuela pitagórica, salte a la vista lo que a la postre sería el motivo de su propia destrucción: un número irracional. El lector puede demostrar por sí mismo (o encontrar la demostración en multitud de sitios) que el cociente entre varios de los segmentos que definen el pentagrama es nada menos que φ = (1 + √5)/2, el celebérrimo número áureo.

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