La vida y la obra de Kurt Gödel

La entrañable inocencia del genio que cambió para siempre la manera de concebir la matemática.

Journey to the edge of reason: The life of Kurt Gödel. Stephen Budiansky

 

JOURNEY TO THE EDGE OF REASON. THE LIFE OF KURT GÖDEL
Stephen Budiansky
Oxford University Press, 2021
368 págs.

El método axiomático-deductivo es uno de los grandes logros del pensamiento griego. Articulado inicialmente por Aristóteles, alcanzó su forma más depurada con Euclides, cuyos Elementos fueron considerados durante siglos el modelo a imitar en la búsqueda de un conocimiento cierto. Del prestigio intelectual del «modo geométrico» de argumentación da testimonio su influencia más allá de las matemáticas. Encontramos ejemplos de él en Descartes y muy especialmente en Spinoza, que redactó los Principios de la filosofía de Descartes y la Ética siguiendo el patrón de los Elementos.

A finales del siglo XIX, el matemático David Hilbert quiso llevar este método a sus últimas consecuencias con una reformulación axiomática de la geometría que eliminaba cualquier vestigio de intuición visual. Puntos o líneas se convertían en conceptos abstractos definidos implícitamente por los propios axiomas. Con ello puso en marcha un programa formalista que aspiraba a la axiomatización sistemática de todo el conocimiento matemático comenzando por su base, la aritmética. Dado un sistema de axiomas completo y coherente, todas las verdades matemáticas serían accesibles en un número finito de pasos mediante métodos algorítmicos de prueba. Cualquier problema matemático tendría, por tanto, una solución. «¡En matemáticas no existe el ignorabimus!» (ignoraremos), afirmaba categóricamente Hilbert durante su alocución en el II Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en 1900 en París.

Aquel optimismo correría una suerte parecida al de los que, en esos mismos años, proclamaban su fe en el determinismo clásico, que a efectos prácticos habría de ser abandonado en el estudio de los sistemas caóticos y que la mecánica cuántica acabaría refutando a un nivel fundamental. El programa formalista, por su parte, naufragó en 1931, apenas unos meses después de que Hilbert volviera a reivindicarlo públicamente con la frase que sería su epitafio: Wir müssen wissen, wir werden wissen («debemos saber, sabremos»).

La causa fue el artículo escrito por un joven de 24 años llamado Kurt Gödel en el que demostraba dos teoremas. El primero afirmaba que, dado un sistema de axiomas lo suficientemente rico como para contener la aritmética, existen enunciados que, siendo ciertos, no pueden ser demostrados algorítmicamente. El segundo concluía que la ausencia de contradicción lógica entre los axiomas (su coherencia) es, asimismo, imposible de demostrar. Con estos dos teoremas, llamados de incompletitud, Gödel mostró que el programa de Hilbert era una entelequia.

En Journey to the edge of reason, Stephen Budiansky nos propone un recorrido por la vida, obra, pensamiento y personalidad de Gödel. Un personaje fascinante en lo intelectual y extremadamente complejo en lo personal, que conoció su periodo de mayor creatividad durante los años más convulsos del siglo XX y que se relacionó con los grandes de la ciencia y la filosofía de su tiempo. Combinando múltiples perspectivas, Budiansky construye un relato de las peripecias vitales del protagonista en el que se entretejen su obra lógico-matemática, su filosofía personal y su complicada psicología, así como la historia política, social e intelectual del mundo en que vivió.

Una buena parte del libro está naturalmente dedicada a la obra lógica de Gödel. Además de mostrar la relevancia y el impacto de los dos teoremas de incompletitud, se presenta la idea general de la demostración del primero: su estructura autorreferencial, que sin embargo evita paradojas como la de Russell, y la «numeración de Gödel», que permite traducir los enunciados metamatemáticos en proposiciones aritméticas [véase «Así funciona el teorema de Gödel», por Natalie Wolchover; Investigación y Ciencia, agosto de 2021].

También se analiza el otro gran resultado de Gödel: la demostración de que la hipótesis del continuo (que afirma que no hay conjuntos con cardinales intermedios entre el de los números naturales y el de los reales) es imposible de refutar en el contexto de la teoría de conjuntos basada en los axiomas de Zermelo-Fraenkel más el axioma de elección (ZFC). Un teorema que supuso el primer paso hacia la histórica prueba de Paul Cohen de que la hipótesis es de hecho indecidible en el sentido del primer teorema de incompletitud, ya que ni ella ni su negación son demostrables dentro del sistema de axiomas ZFC [véase «Demostrar la hipótesis del continuo», por Jean-Paul Delahaye; Investigación y Ciencia, mayo de 2020].

Pero el libro no desatiende ni mucho menos los otros intereses de Gödel. Por supuesto, incluye su incursión en la relatividad general con el «universo de Gödel», pero también y particularmente sus ideas filosóficas, que son de especial relevancia a la luz del ambiente intelectual de su juventud. Como nos explica Budiansky, a pesar de su participación —eminentemente pasiva— en el Círculo de Viena, Gödel mantuvo posturas filosóficas opuestas a las del positivismo lógico. Así, frente a la doctrina positivista de que el significado de una proposición radica en su proceso de verificación empírica, Gödel creía en la capacidad de la razón para alcanzar verdades no susceptibles de comprobación experimental, por ejemplo en matemáticas. Sus propios teoremas de incompletitud eran para él un indicio de la supremacía de la mente humana sobre cualquier intento de «automatización» del conocimiento matemático.

En este sentido se situó también en las antípodas de la noción, que los positivistas tomaron de Wittgenstein, de que las matemáticas son un sistema sintáctico y que la «verdad» de sus proposiciones radica en que estas sean sintácticamente correctas. Gödel fue un inveterado platónico que sostuvo la realidad no empírica de las verdades matemáticas, las cuales son descubiertas, y no formuladas o inventadas [véase «¿Son reales las matemáticas?», por Kelsey Houston-Edwards; Investigación y Ciencia, noviembre de 2019]. Una idea que el también realista Paul Erdős expresaba metafóricamente refiriéndose a «El Libro» en poder de la divinidad que contenía todos los teoremas matemáticos, así como sus demostraciones más perfectas y elegantes.

La narración de Budiansky nos descubre magistralmente al Gödel más personal. Testimonios y anécdotas ponen de manifiesto lo que el matemático Karl Sigmund llamaba la «entrañable inocencia» que siempre lo caracterizó. Todo esto en el trasfondo de sus graves problemas psicológicos, que desde mediados de los años treinta lo transformaron y aislaron progresivamente. A diferencia de su etapa vienesa, en la que mantuvo una activa vida social, sus relaciones personales en Princeton fueron escasísimas. Aparte de Albert Einstein, a quien le unió una legendaria amistad, tan solo cabe mencionar a John von Neumann, Oskar Morgenstern y, en sus últimos años, al filósofo Hao Wang, a quien debemos gran cantidad de información sobre las ideas filosóficas del Gödel maduro.

Uno de los aspectos más sobresalientes de Journey to the edge of reason es la forma en que la vida de Gödel se entrelaza con su complejo trasfondo histórico: la monarquía austrohúngara, su hundimiento y la Viena de entreguerras; ambientes magistralmente retratados en la literatura de Stefan Zweig, Joseph Roth y Arthur Schnitzler, a la que Budiansky recurre con frecuencia. También la creación del Instituto de Estudios Avanzados y la vida de los emigrados europeos en Princeton. Especialmente vívida es la descripción del enrarecido ambiente político y social de la universidad vienesa de los años veinte y treinta, la creciente violencia antisemita y la disolución progresiva del Círculo de Viena, que culmina con el asesinato en 1936 de su fundador, Moritz Schlick.

Aunque la vida de Gödel ya se ha contado en otras ocasiones y con varios énfasis (recordemos, entre otros, los libros de Rebecca Goldstein o Palle Yourgrau), puede afirmarse sin titubeos que Budiansky ha escrito una biografía redonda. Gracias a una extraordinaria fluidez narrativa y a un equilibrio perfecto entre la persona, su ciencia y su tiempo, Journey to the edge of reason hace revivir a Gödel ante los ojos del lector en toda su compleja genialidad y, sobre todo, humanidad. Una deliciosa y gratificante lectura para toda persona interesada en la historia de la lógica y las matemáticas, o simplemente del pensamiento del siglo XX.

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