Pensamiento matemático

Determinante en la disciplina científica de la mente.

WHY IS THERE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS AT ALL?
Por Ian Hacking. Cambridge University Press, ­Cambridge, 2014.


Según la tradición, Platón mandó inscribir en el dintel de la Academia de Atenas la leyenda «No entre quien sea ignorante en matemáticas». Con mayor razón hoy, no podemos conocer nada en profundidad si no entendemos la matemática subyacente. Al preguntarse en What is Mathematics? (1941) Richard Courant sobre la naturaleza de la matemática, aludía, para responder a la cuestión, a la experiencia activa de su cultivo. Comprendemos lo que son las matemáticas cuando las ejercitamos.

Matemática es la ciencia que se ocupa de los números y sus operaciones, interre­laciones, combinaciones y generalizaciones, así como de las configuraciones del espacio, estructura, medición, transformaciones y extensiones de las mismas. En su origen, el nombre designaba no solo geometría y aritmética, sino también determinadas ciencias físicas (astronomía y óptica), que implican un razonamiento geométrico. Cuando el término se emplea en su sentido más amplio y abstracto, hablamos de matemática pura; sus aplicaciones concretas (la astronomía, la física o la teoría de probabilidades) conforman la matemática aplicada o mixta. Es una ciencia lógico-deductiva, en la que los conceptos primarios no están definidos (unidad, conjunción, correspondencia; punto, recta, plano) y las proposiciones son aceptadas sin definición (axiomas), a partir de lo cual se deriva una teoría a través de un razo­namiento exento de contradicciones.

La filosofía de la matemática, o al menos la exposición filosófica de la matemática, ha desempeñado un papel importante en la cultura occidental desde Pitágoras. En cuanto disciplina, sin embargo, la filosofía de la matemática experimentó un cambio radical en los años finales del siglo XIX e inicios del siguiente. El giro supuso la incorporación del análisis de la infinitud de Cantor y el análisis del número de Frege; entrañó también la búsqueda de una coherente unificación con los Principia Mathematica (1910-1913), de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, cuyo título refleja su propósito: hacer en la matemática lo que Newton consiguió en física a través de sus Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. Russell y Whitehead desarrollan en su extensa obra el programa logicista; matemática es la clase de proposiciones de la forma ‘p implica q’, donde p y q son proposiciones que obtienen una o más variables, igual en las dos proposiciones, y donde ni p ni q contienen otras constantes que las lógicas.

Una generación posterior a los Principia Matemática, un grupo de jóvenes brillantes franceses, convino en escribir un manual definitivo de matemática. Se ampararon bajo el nombre de Nicolas Bourbaki. El primer volumen, una exposición impecable y rigurosa de la teoría de conjuntos, apareció con el título de Éléments de mathématique (1939). Para ellos, matemática era el estudio de las estructuras. Desde ese enfoque fueron publicando manuales sobre álgebra, topología, teoría de Lie, etcétera.

La filosofía de la matemática, con su debate recurrente sobre si existe una realidad matemática externa (en espera de que la descubramos) o se trata de una creación humana (producto de la mente), constituye, a un tiempo, un tema formidable y fascinante. En cualquier caso, la matemática pura ocupa la cima del pensamiento racional. Los resultados matemáticos parecen ser paradigma de precisión, rigor y certeza, desde teoremas elementales sobre números y figuras geométricas hasta construcciones complejas de análisis funcional y teoría de conjuntos. Resultados y métodos que manifiestan una austera elegancia, diríanse propios de un arte. Por otro lado, medimos el rigor de una disciplina científica en razón del aparato matemático esgrimido.

Además de su relación con la naturaleza, pensar en la matemática es pensar en la prueba, cuestión de persistente interés. Para Wittgenstein, las matemáticas son técnicas de la prueba. Cierto es que no necesitamos pruebas para pensar matemáticamente. Como señalaba G. Hardy en su Apology (1940), «la función de un matemático es hacer algo, demostrar nuevos teoremas, añadir matemática». A la demostración de teoremas geométricos se dedicaron ya Tales y otros presocráticos, en el nacimiento de la filosofía jónica. Desde Euclides, la prueba ha constituido el patrón oro del avance de la matemática en Occidente. Hubo dos concepciones ideales de la prueba: la de Leibniz y la de Descartes.

En la metodología cartesiana, para aprehen­der la verdad debemos, tras reflexión y estudio, lograr una prueba entera e indivisa, de golpe. No lo explica en sus escritos matemáticos, sino en las Meditaciones. En las Reglas sobre la dirección del espíritu habla de la intuición, entendida no como una percepción sensorial, sino como una concepción que permite adentrarnos en la naturaleza de las cosas de una manera fácil y distinta, sin lugar para la duda. La deducción, en cambio, significa cualquier conclusión necesaria a partir de otras cosas conocidas con certeza. La teoría de Leibniz sobre la prueba de una proposición necesaria —secuencia finita de sentencias— se convirtió en el ideal formalizado de los lógicos del siglo XX.

Sabemos, sin embargo, que hay muchos tipos de pruebas matemáticas, que tienen poco que ver con esos dos ideales. Abundan los argumentos que nos convencen de la verdad de proposiciones matemáticas, sin que constituyan una prueba. Pensemos en el argumento de Euler de que la suma infinita de recíprocos del cuadrado (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ...) es π2/6. No cumple las condiciones de prueba, pero resulta absolutamente convincente. Hasta el punto de que Mark Steiner y Hilary Putnam lo tomaron como ejemplo de conocimiento de un hecho matemático basado enteramente en un argumento plausible.

A la manera en que el lenguaje es específico de especie, es decir, una capacidad exclusiva de nuestra especie, también la matemática es específica de especie, aun cuando compartamos determinado sentido de los números con cuervos, delfines o macacos. La ciencia cognitiva sitúa ahora el «sentido de los números» en zonas cerebrales distintas de las que se activan en la sensibilidad espacial. Encontramos abundante trabajo matemático en todas las civilizaciones: Babilonia, Egipto, China y, posiblemente, Mesoamérica. Podríamos aventurar que, en cuanto una población inventaba la escritura, se hallaban listos para inventar la matemática. Pero ese podría ser un orden erróneo. Tal vez los habitantes de Mesopotamia inventaron la escritura para dejar constancia de los números. Cabe también la posibilidad de que los incas contaran con refinados sistemas de cómputo sin haber desarrollado la escritura, mediante ingenios tales como el quipú para el registro y la yupana para calcular.

La geometría es espacial. La aritmética sirve para contar, un proceso que Kant vincula al tiempo. No se quiere decir que no podamos trabajar en aritmética sin tiempo. Sin contar siquiera, podemos observar que un grupo consta de cuatro o incluso seis miembros. (A este proceso se le llama de repentización: los niños pueden distinguir entre grupos de dos y tres. También lo hacen determinados animales no primates.) A partir de esa cifra, habrá que contar. El cálculo no es un proceso innato, sino aprendido. Cierto es que a simple vista podemos decir que un grupo es mayor que otro. Podemos declarar que dos conjuntos tienen el mismo número de elementos emparejándolos.

De acuerdo con la exposición canónica de la historia de la matemática en Occidente, la geometría es griega y la aritmética comenzó en la India, de donde pasó a Persia y al islam. En justicia, la historia de la matemática es una historia de unificación y de diversificación. El álgebra es criatura de la aritmética. Para Kant, la aritmética formularía verdades sintéticas a priori de tiempo, mientras que la geometría constituye verdades sintéticas a priori de espacio. Se establecía en la Geometría de Descartes una estrecha relación entre geometría y aritmética. Con todo, las conexiones entre geometría y aritmética no empezaron con él. François Viète y Christopher Clavius le precedieron. Probablemente, la historia de la aritmética aplicada a la geometría se retrotraiga hasta la Casa de la Sabiduría de Bagdad, donde el álgebra maduró en el siglo X.

Ahora bien, si hay numerosos problemas de geometría que pueden resolverse convirtiéndolos en aritmética y álgebra, también abundan problemas de teoría de números y de álgebra cuya solución descubrimos al abordarlos geométricamente. Hermann Minkowski, maestro de Einstein, se percató en 1907 de que la teoría especial de la relatividad podía conceptualizarse en un espaciotiempo tetradimensional. (Recurriendo a la geometría, Minkowski fue un innovador en teoría de números, en física matemática y en teoría de la relatividad.) La geometría no euclidiana de Riemann se convirtió en el instrumento necesario para la relatividad especial. Andrew Wiles aplicó propiedades de las funciones elípticas para resolver el aritmético teorema de Fermat.

Hay en matemáticas otros muchos puntos de interés para el filósofo. Suelen citarse las antinomias, introducidas por la paradoja de Russell, los teoremas de incompletitud de Gödel, la hipótesis del continuo y, más generalmente, intuicionismo y constructivismo. ¿Son cuestiones matemáticas o cuestiones filosóficas los problemas generados por la computación, P/NP, por ejemplo? Entre matemáticos y filósofos se ha discutido largamente sobre si las pruebas pueden contrastarse por ordenador y sobre las pruebas generadas por ordenador. El ejemplo por excelencia es el teorema de los cuatro colores. La prueba se retrotrae a Apel y Haken (1977). Parte notable de la prueba relativa a alternativas posibles se reservó para la computación. Timothy Gowers, medalla Fields 1998, cree que dentro de un siglo los ordenadores suplantarán a los matemáticos.

Los matemáticos conocen una peculiaridad de su materia no fácil de explicar. A menudo, y tras un esfuerzo considerable, pueden compilar una lista de objetos matemáticos definidos por condiciones simples. La intuición les induce a creer que la lista es completa y buscan una prueba general de exhaustividad. De ese modo suelen descubrirse nuevos objetos, justamente al intentar mostrar dicha completitud. Tal los grupos finitos. El resultado constituye el teorema de clasificación. Los teoremas de clasificación desempeñan un papel importante en la matemática moderna. Lo que se considera prueba definitiva se publicó en 2004 (sometida siempre a la cautela de que cabe la posibilidad de que aparezca un contraejemplo). El primer teorema de clasificación de la historia humana fue la prueba de Euclides, que aparece en el libro XIII de los Elementos sobre la existencia de los cinco poliedros regulares. Primero muestra cómo construirlos y demuestra luego que todos se encuentran en ellos.

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